流体力学の勉強(2) ：「流体の力学入門」読書メモ(1)

流体力学の勉強の続き．演習で学ぶ「流体の力学」入門第2版という本を勉強中．いろいろ飛ばして12章から．

この章では，流体の基礎方程式と，そのためのいくつかの概念の導入(物質微分，オイラーの方法，ラグランジュの方法など）がされています．

冒頭でラグランジュの方法とオイラーの方法が説明され，やや天下り的に実質微分（もしくは物質部分またはラグランジュ微分）が導入されていますが・・・

$\displaystyle \alpha_x = \frac{Du}{Dt} = \frac{Du}{Dt} + u \frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial t}$

初心者としては非常に混乱しました．「オイラーの方法では」と書かれていますが，この書き方が謎でした．なぜなら，直前で説明されている「オイラーの方法」とは「任意の時間において，空間のすべての点に対して流体粒子の持つ速度，圧力，密度，温度などの物理量を考え，流れの状態を観察する方法」と書かれているにもかかわらず，「空間上の点を固定して観察しているのに，なんでｘとｙで偏微分するのか？」という点が疑問でした．

ラグランジュ微分 - EMANの流体力学を読んで，やっとこの意味がわかりました．

まず，単に「ラグランジュの方法」とか「オイラーの方法」といっても，「ラグランジュ／オイラー的な考え方」と，「ラグランジュ／オイラーの表記」の2つの意味があって，物質微分はいわば「ラグランジュ的考え方のオイラー表記」ということですね．

さらに，式自体の導出が省略されているので，練習がてら導出してみます．

ある物理量Aの物質微分を求める．ｘ成分について本文図12.1 の記号を使って， $\Delta t$ 後の位置と速度を考え，

$\displaystyle A' = A(x_0 + v_x \Delta t, y_0 \Delta t, z_0 + v_z \Delta t)$

1次までのテイラー展開して，

$\displaystyle A' \approx \frac{\partial A}{\partial x} v_x \Delta t + \frac{\partial A}{\partial y} v_y \Delta t \frac{\partial A}{\partial z} v_z \Delta t + A(x_0, y_0, z_0)$

よって，

$\displaystyle A' - A = \frac{\partial A}{\partial x} v_x \Delta t + \frac{\partial A}{\partial y}v_y \Delta t + \frac{\partial A}{\partial z} v_z \Delta t$